Problema del libro de Munkres §12, 2

Lema 1. $A:={\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\}$ es numerable.

Demostración: Considere la función $f:A⟶\mathbb{N}$ definida por $f(0)=0$ y $f(p/q)=2^p{3}^q$ si $p/q\ne 0$. Por el teorema fundamental de la aritmética $f$ es inyectiva.

Ahora, la función $g:\mathbb{N}⟶A$ con $g(n)=n$ es claramente inyectiva. Así, por el teorema de Cantor-Bernstein, $|A|=|\mathbb{N}|$. ◻

Lema 2. Si $A$ y $B$ son numerables, entonces $A\times B$ es numerable.

Demostración: Como $A$ y $B$ son numerables, existen $\alpha :A⟶\mathbb{N}$ y $\beta :B⟶\mathbb{N}$ biyectivas. Entonces la función ${\gamma }_1:A\times B⟶\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ con ${\gamma }_1(a,b)=(\alpha (a),\beta (b))$ es inyectiva. Similarmente, la función ${\gamma }_2:\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶A\times B$ con ${\gamma }_2(m,n)=({\alpha }^{-1}(m),{\beta }^{-1}(n))$ es inyectiva. Luego, $|A\times B|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|$.
Sea $f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N}$ con $f(m,n)=2^m{3}^n$. Entonces $f$ es inyectiva. Ahora sea $g:\mathbb{N}⟶\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ con $f(n)=(n,0)$. Claramente $g$ es inyectiva. Luego $|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$.
Así, $|A\times B|=|\mathbb{N}|$. ◻

Problema 1. Sean $A=\{x\in [0,1]\mid x=p/q\wedge p,q\in {\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\}\wedge q\ne 0\wedge \mathrm{mcd}(p,q)=1\}$ y $Q=[0,1]\times [0,1]$. Sea $f:Q⟶\mathbb{R}$ con $f(x,y)=\frac{1}{q}\text{, si }(x,y)\in A\times \mathbb{Q}$ y $f(x,y)=0\text{, si }(x,y)\in (\mathbb{I}\times [0,1])\cup (A\times \mathbb{I})$

a) Muestre que ${\int }_{Q}f$ existe.

b) Calcule $\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)$ y $\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)$.

c) Verificar el teorema de Fubini.

Demostración (a): Sea $ϵ>0$ y $k\in \mathbb{N}$ con $1/k<ϵ$. Existen $\sum _{q=1}^k\varphi (q)+1$ números racionales $x\in A$, $x=p/q$ tales que $q<k$, esto es, tales que $1/k<1/q$.
Sea $(x_0,y_0)\in Q$, con $(x_0,y_0)\in (\mathbb{I}\times [0,1])\cup (A\times \mathbb{I})$ y $(x,y)\in Q$. Sea $\delta :=\frac{\min \{|x-x_0|\mid x\in A\wedge x=p/q\wedge 1/k<1/q\}}{2}.$ Si $\Vert (x,y)-(x_0,y_0)\Vert <\delta$, entonces:

I) Si $(x,y)\in (\mathbb{I}\times [0,1])\cup (A\times \mathbb{I})$, $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=0<ϵ.$

II) Si $(x,y)\in A\times \mathbb{Q}$, con $x=p/q$, entonces $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=\frac{1}{q}\le \frac{1}{k}<ϵ$.

Así $f$ es continua en $[(\mathbb{I}\times [0,1])\cup (A\times \mathbb{I})]\cap Q$. Entonces $f$ es discontinua en, a lo más, $D:=[({\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\})\times ({\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\})]\cap Q.$

Por el Lema 1 $({\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\})\cap [0,1]\subseteq {\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\}$ es numerable y por el Lema 2, $D$ es numerable. Luego, existe una biyección $\alpha :\mathbb{N}⟶D$ con $\alpha (i)=(r,s)$. Así, la familia $\{O_{\alpha (i)}{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ con $O_{\alpha (i)}=\left[r-\frac{\sqrt{ϵ}}{\sqrt{2^{i+3}}},r+\frac{\sqrt{ϵ}}{\sqrt{2^{i+3}}}\right]\times \left[s-\frac{\sqrt{ϵ}}{\sqrt{2^{i+3}}},s+\frac{\sqrt{ϵ}}{\sqrt{2^{i+3}}}\right],$ es numerable y $v(O_{\alpha (i)})=\frac{ϵ}{2^{i+1}}$.

Luego entonces, ${\sum }_{i\in \mathbb{N}}v(O_{\alpha (i)})={\sum }_{k\in \mathbb{N}}\frac{ϵ}{2^{i+1}}=\frac{ϵ}{2}<ϵ.$

Y claramente, como $\alpha$ es biyectiva, $D\subseteq \bigcup _{j\in \mathbb{N}}{O}_{\alpha (i)}$.
Así, $f$ es discontinua en, a lo más, un conjunto de medida cero. Aplicando la condición de Lebesgue, se tiene lo deseado. ◻

Solución (b):
Si $x\in \mathbb{I}$, entonces para cualquier partición $P$ de $[0,1]$, $R\in P$: $m(f,R)=0\text{ y }M(f,R)=0.$ Luego $\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=0$

Si $x\in A$, entonces $f(x,y)=1/q$ si $y\in \mathbb{Q}$ y $f(x,y)=0$ si $y\in \mathbb{I}$. Así $m(f,R)=0$ y $M(f,R)=1/q$ para cualquier $R$ rectángulo inducido por una partición $P$ de $[0,1]$. Luego $\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=1/q\text{ y }\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=0,$ esto es, $\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=1/q\text{, si }x\in A$ y $f(x,y)=0\text{, si }x\in \mathbb{I}\text{ y }\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)=0$

Solución (c):
Ahora, como $f$ es integrable, ${\int }_{Q}f=\underline{{\int }_Q}f$. Para cualquier partición $P$ de $Q$ existe $(\iota ,\kappa )\in \mathbb{I}\times [0,1]$ tal que, para $R\in P$, $(\iota ,\kappa )\in R$. Así, $m(f,R)=0$ y entonces $I(f,P)=0$, para cualquier $P$. Entonces ${\int }_{Q}f=0.$

Por otro lado, ${\int }_{x\in [0,1]}\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)={\int }_{x\in [0,1]}0=0,$ y, si $h:[0,1]⟶\mathbb{R}$, $h(x):=\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)$, entonces ${\int }_{x\in [0,1]}\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)={\int }_{x\in [0,1]}h(x)=0\text{ (es la funcioˊn de Thomaeˊ)}.$

Así, se verifica el Teorema de Fubini: ${\int }_{Q}f={\int }_{x\in [0,1]}\overline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y)={\int }_{x\in [0,1]}\underline{{\int }_{y\in [0,1]}}f(x,y).$