Invarianza de la cardinalidad de las bases de espacios vectoriales (caso infinito)

Teorema: Toda base de un $F$ -espacio vectorial tiene la misma cardinalidad.

Demostración: (Caso infinito) Sean $A$ y $B$ bases de un $F$ -espacio vectorial $V$ ordenadas por conjuntos de índices bien ordenados $I$ y $J$ respectivamente, con $card (A) \geq ℵ_{0}$ e $i \in I$ y $j \in J$ . Demostrado el caso finito, entonces tenemos que $card (B) \geq ℵ_{0}$
Cada vector $α_{i} \in A$ es representado de forma única como una combinación lineal finita de vectores $β_{j} \in B$ . En efecto, sean $J_{i 1} \subseteq J$ y $J_{i 2} \subseteq J$ conjuntos finitos. Suponga que existen ${c_{k}}_{k \in J_{i 1}} \subseteq F$ y ${d_{k}}_{k \in J_{i 2}} \subseteq F$ y se tiene que

$α_{i} = k \in J_{i 1} \sum c_{k} β_{k} y α_{i} = k \in J_{i 2} \sum d_{k} β_{k}$

Entonces

$k \in J_{i 1} \sum c_{k} β_{k} = k \in J_{i 2} \sum d_{k} β_{k}$

$k \in J_{i 1} \sum c_{k} β_{k} - k \in J_{i 2} \sum d_{k} β_{k} = 0$

Luego, separando las sumas en índices en común e índices no en común, se tiene

$k \in J_{i 1} \cap J_{i 2} \sum (c_{k} - d_{k}) β_{k} + k \in J_{i 1} ∖ J_{i 2} \sum c_{k} β_{k} - k \in J_{i 2} ∖ J_{i 1} \sum d_{k} β_{k} = 0$

$B$ es base, entonces $\forall c_{k}, k \in J_{i 1} ∖ J_{i 2}$ se tiene que $c_{k} = 0$ y del mismo modo $\forall d_{k}, k \in J_{i 2} ∖ J_{i 1}$ se tiene que $d_{k} = 0$ . Luego, $\forall k \in J_{i 1} \cap J_{i 2}$ , $c_{k} - d_{k} = 0$ . Luego entonces $c_{k} = d_{k}$ . Así, tenemos que la representación es única.
Ahora, cada $β_{j} \in B$ aparece en una combinación lineal finita de un $α_{i} \in A$ . Si no fuera así, entonces suponga que $β_{j_{0}}$ no aparece en ninguna combinación lineal finita para todo $α_{i} \in A$ . Luego, sea $I_{j_{0}} \subseteq I$ conjunto finito y sea ${e_{l}}_{l \in I_{j_{0}}} \subseteq F$ , como $A$ es base, entonces

$β_{j_{0}} = l \in I_{j_{0}} \sum e_{l} α_{l}$

Cada $α_{l}, l \in I_{j_{0}}$ se representa como una combinación lineal finita de vectores en $B$ , sea $J_{α} \subseteq J$ conjunto finito y ${c_{k}}_{k \in J_{α}}$ , supongamos entonces

$β_{j_{0}} = k \in J_{α} \sum c_{k} β_{k}$

luego entonces, $B$ es linealmente dependiente, lo que contradice que $B$ sea una base de $V$ . Por lo tanto, todo vector $β_{j} \in B$ aparece en alguna combinación lineal que representa a los $α_{i} \in A$ .
Entonces se define $β_{j} \mapsto α_{i} f : B ⟶ A$ que a un $β_{j} \in B$ le asigna sólo un $α_{i} \in A$ donde $β_{j}$ forma parte de la combinación lineal finita única que representa a $α_{i}$ . Entonces $β_{j} \mapsto α_{i} f : B ⟶ A$ es una función.
Luego, sea $J_{i} \subseteq J$ conjunto finito y $α_{i}^{'} \in f (B)$ , entonces $f^{- 1} ({α_{i}^{'}}) = {β_{j}}_{j \in J_{i}}$ , $J_{i} \subset J$ es un conjunto tal que $β_{j}$ forma parte de la combinación lineal finita única que representa a $α_{i}$ , entonces $f^{- 1} ({α_{i}^{'}})$ es un conjunto finito.
Sea $Γ := {f^{- 1} ({α_{i}^{'}}) \in P (B) ∣ α_{i}^{'} \in f (B)}$ . Luego $B = γ \in Γ ⋃ γ$ , la cual, como $f$ es función, es una unión disjunta. Así $card (B) = γ \in Γ \sum card (γ) \leq card (f (B))$ y como $f (B) \subseteq A$ , $card (f (B)) \leq card (A)$ . Luego entonces $card (B) \leq card (A)$ y se tiene que existe $ϕ : B ⟶ A$ función inyectiva.
De manera análoga, intercambiando los papeles de $B$ y $A$ , se llega a que $card (A) \leq card (B)$ y entonces existe una función inyectiva $ψ : A ⟶ B$ . Luego, por el Teorema de Cantor-Bernstein se tiene que $card (A) = card (B)$ . ◻

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