Existencia de la raíz cúbica como cortadura de Dedekind

Problema: Sea $a\in \mathbb{Z}$ y $\sqrt[3]{a}:=\{x\in \mathbb{Q}\mid x^3<a\}$. Demostrar que $\sqrt[3]{a}$ es una cortadura.

Demostración: (i) Considere $b<a$. Entonces $b^3<a^3$, luego es suficiente con considerar $b=a-1$. Considere $a<c$. Bajo el mismo argumento anterior es suficiente con tomar $c=a+1$. De los casos anteriores se tiene que $\{\sqrt[3]{a},\mathbb{Q}\setminus \sqrt[3]{a}\}$ es una partición de $\mathbb{Q}$.

(ii) Ahora, sea $x\in \sqrt[3]{a}$ y $y<x$. Se cumple $y^3<x^3<a$, luego $y\in \sqrt[3]{a}$.

(iii) Sea $x\in \sqrt[3]{a}$ y $ϵ:=\min \{1,\frac{a-x^3}{3x^2+3x+1}\}>0$. Entonces se tendrá que

$(x+ϵ{)}^3-x^3=3x^2ϵ+3x{ϵ}^2+{ϵ}^3$ $=ϵ(3x^2+3xϵ+{ϵ}^2)$ $<ϵ(3x^2+3x+1)<a-x^3$.

Luego $(x+ϵ{)}^3<a$.

De (i), (ii) y (iii) se tiene que $\sqrt[3]{a}$ es una cortadura.