Curso de Álgebra IV

Notas pensadas para el curso de Álgebra IV, impartido por el profesor Hugo en el semestre 26/1

En el curso se adoptó la construcción de los números reales por parte de Dedekind.

Las notas están incompletas y probablemente se conviertan en su propia guía para el curso. Si se necesita revisar lo del curso despreciando cosas que a los editores les hace ruido como la lógica, se le sugiere leer el libro de Hernández. El curso del Dr. Hugo Méndez Delgadillo fue basado en la mayoría de este libro, omitiendo productos cartesianos arbitrarios, mencionando un poco de clases y utilizando el libro de Spivak al final. Unas notas que recomendaría son las del Dr. David J. Fernández Bretón, que me interesaron bastante: Notas del Dr. Bretón.

El plan para las notas era originalmente empezar por la teoría de conjuntos NBG. Preferí no complicarme demasiado y mejor quedarme en ZF sin dejar de lado la formalización de cosas como las propiedades. Así que las notas serán más una visión del curso de Álgebra IV que hubiera sido del agrado de los autores.

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Algunos problemas propuestos en el curso:

• Clase de todos los conjuntos de cardinalidad uno
• Clase de todos los conjuntos equipotentes a un conjunto
• Existencia de la raíz cúbica como cortadura de Dedekind
• Raíz de un polinomio de grado 3 es una cortadura
• La suma de raíz de dos y su inverso multiplicativo es mayor a 2

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Axiomas de la teoría ZFE:

• A.1 $\exists y\forall x(\neg x\in y)$
• A.2 $\forall a\forall b\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\to a=b$
• A.3 Para cada término clase $A$, $x\cap A\in \mathcal{V}$
• A.4 $\forall a\forall b\exists y\forall x(x\in y\leftrightarrow x=a\vee x=b)$
• A.5 $\forall a\exists y\forall z(z\in y\to \exists x\in a(z\in x))$
• A.6 $\forall a\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z\subset a)$

Referencia: M. Fernández y L. M. Villegas. Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II . 1.a ed. Universidad Autónoma Metropolitana, 2017. isbn: 9786072812109.

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Notaciones y convenios:

• Se define una relación entre clases por $A\sim B\leftrightarrow \text{ existe }f:A⟶B\text{ funcioˊn biyectiva}$. Llamamos a esta relación equipotencia.