Clase de todos los conjuntos equipotentes a un conjunto

Problema: Sea $y\in \mathcal{V}$. Demostrar que el término clase $\mathcal{T}:=\{x\mid x\sim y\}$ no es un conjunto.

Demostración: Supongamos que $\mathcal{T}$ es un conjunto. Entonces, por el Axioma de Unión se tiene que $\bigcup _{x\in \mathcal{T}}x$ es un conjunto.

Sea $t\in \mathcal{V}$ y $z\in A$. Defínase $B:=(A\setminus \{z\})\cup \{t\}$. Es fácil ver que $f:A⟶B$ con $f(x)=x$ si $x\ne z$ y $f(x)=t$ si $x=z$ es una biyección. Así $A\sim B$, luego $B\in \mathcal{T}$ y entonces $x\in \bigcup _{x\in \mathcal{T}}x$.

Luego entonces $\mathcal{V}\subset \mathcal{T}$, y así, por el Axioma de Especificación, $\mathcal{V}$ es un conjunto $\perp$.

Así $\mathcal{T}$ es una clase propia.