La suma de la raíz de dos y su inverso multilplicativo es mayor a 2

Problema: Si $\sqrt{2}:=\{x\in \mathbb{Q}\mid x\le 0\vee x^2<2\}$, demostrar que $\sqrt{2}{+}_{\mathcal{C}}{\sqrt{2}}^{-1}{\ge }_{\mathcal{C}}{2}_{\mathcal{C}}$.

Demostración: Demuestre en general que si $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$ entonces para todo $n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$ el conjunto $\sqrt[n]{a}:=\{x\in \mathbb{Q}\mid x\le 0\vee x^n<a\}$ es una cortadura.

Ahora, recordando ${\sqrt{2}}^{-1}=\{x\in \mathbb{Q}\mid \frac{1}{x}\notin \sqrt{2}\wedge$ $x$ no es elemento mínimo de $\mathbb{Q}\setminus \sqrt{2}$ $\}$.

Así, considere $\sqrt{2}{+}_{\mathcal{C}}{\sqrt{2}}^{-1}:=\{z\in \mathbb{Q}\mid \exists x\in \sqrt{2}\wedge \exists y\in {\sqrt{2}}^{-1}$ tal que $z=x+y\}$

Entonces, tómese $\frac{7}{10}\in {\sqrt{2}}^{-1}$ $($pues $\frac{100}{49}>2)$ y $\frac{7}{5}\in \sqrt{2}$ $(\frac{49}{25}<2)$. Luego $\frac{7}{10}+\frac{7}{5}=\frac{7+14}{10}=\frac{21}{10}>2$. Así $\frac{21}{10}\in \sqrt{2}{+}_{\mathcal{C}}{\sqrt{2}}^{-1}$ es tal que $\frac{21}{10}\notin 2$, luego $\sqrt{2}{+}_{\mathcal{C}}{\sqrt{2}}^{-1}{\ge }_{\mathcal{C}}{2}_{\mathcal{C}}$