Clase de todos los conjuntos de cardinalidad uno

Problema: Demostrar que el término clase $\mathcal{S}:=\{x\mid x\sim 1\}$ no es un conjunto.

Demostración: Supongamos que $\mathcal{S}$ es un conjunto. Entonces por el Axioma del Par y el Axioma de Extensión, si $x\in \mathcal{V}$, $\{x\}$ es un conjunto. Luego $\{x\}\in \mathcal{S}$ por lo que entonces $\mathcal{V}\subset \mathcal{S}$. Luego, por el Axioma de Especificación, la clase de todos los conjuntos es un conjunto, una contradicción $\perp$.

Así $\mathcal{S}$ es una clase propia.