Raíz de un polinomio de grado 3 es una cortadura

Problema: Demostrar que el conjunto $\gamma :=\{x\in \mathbb{Q}\mid x\le 0\vee x^3-5x<1\}$ es una cortadura.

Demostración: (i) Considere ${\frac{4}{3}}^3-5\frac{4}{3}=-\frac{116}{27}<1$. Entonces $\gamma \ne \varnothing$. Ahora, $10^3-5(10)>1$, por lo que $\mathbb{Q}\setminus \gamma \ne \varnothing$. Así $\{\gamma ,\mathbb{Q}\setminus \gamma \}$ es una partición de $\mathbb{Q}$.

(ii) Sea $x\in \gamma$ y $y<x$. Si $y\le 0$ entonces $y\in \gamma$. Si $0<y<\frac{4}{3}$ entonces, si suponemos que $y^3-5y\ge 1$

$\left({\frac{4}{3}}^3-5\frac{4}{3}\right)-(y^3-5y)=\left(\frac{4}{3}-y\right)\left({\frac{4}{3}}^2+\frac{4}{3}y+y^2-5)\right)$ $=\left(\frac{4}{3}-y\right)\left({\frac{4}{3}}^2+\frac{4}{3}y+(y^2-5))\right)>0$

Así

$\left({\frac{4}{3}}^3-5\frac{4}{3}\right)>(y^3-5y)$

y entonces $1>y^3-5y\ge 1$ $\perp$. Luego $y\in \gamma$.

Si $\frac{3}{4}<y$ entonces

$(x^3-5x)-(y^3-5y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-5)$ $>(x-y)(\frac{16}{9}+\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-5)>0$

Así $1>x^3-5x>y^3-5y$. Luego $y\in \gamma$.

(iii) Sean $x\in \gamma$ y $ϵ:=\min \{1,\frac{1-(x^3-5x)}{3x^2+3x+1}\}>0$. Entonces

$(x+ϵ{)}^3-5(x+ϵ)-(x^3-5x)=3x^2ϵ+3x{ϵ}^2+{ϵ}^3-5ϵ$ $=ϵ(3x^2+3xϵ+{ϵ}^2-5)$ $<ϵ(3x^2+3x+1)$ $<1-(x^3-5x)$

y entonces $(x+ϵ{)}^3-5(x+ϵ)<1$.

Luego $\gamma$ es una cortadura.